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数和数学的方法是描述世界万物最重要的手段。而不同的计数系统和数的进制都有有趣的渊源。

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制---X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

（1）数制的基数确定了所采用的进位计数制。

表示一个数时所用的数字符号的个数称为基数（Radix）。如十进制数制的基数为10；二进制的基数为2。对于N进位数制，有N个数字符号。如十进制中有10个数字符号：0~9；二进制有2个符号：0和1；八进制有8个符号：0~7；十六进制共有16个符号：0~9、A~F。

（2）逢N进一：如十进制中逢10进1；八进制中逢8进1；二进制中逢2进1；十六进制中逢16进1。

（3）采用位权表示方法：处在不同位置上的相同数字所代表的值不同，一个数字在某个位置上所表示的实际数值等于该数值与这个位置的因子的乘积，而该位置的因子由所在位置相对于小数点的距离来确定，简称为位权（Weight）。

（4）位权与基数的关系是：位权的值恰是基数的整数次幂。

进制	原始数	按位权展开	对应十进制数
十进制	923.45	9×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2	923.45
二进制	1101.1	1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1	13.5
八进制	572.4	5×82+7×81+2×80+4×8-1	378.5
十六进制	3B4.4	3×162+B×161+4×160+4×16-1	948.25

10进制

我们有个成语叫"屈指可数"，说明古代人数数确实是离不开手指的，而一般人的手指恰好有十个。人类算数采用十进制，可能跟人类有十根手指有关。10进制有0，1，2….9十个基本数字组成，十进制数运算是按“逢十进一”的规则进行的。

10进制最早产生于公元前14世纪中国商代。

60进制与12进制

人类的手指恰好有十个，因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制（这一进位制到现在仍留有痕迹，如一分=60秒等）。古巴比伦使用60进制，比起数10根手指，他们用一只手从食指到小指，共计12个关节(3×4)，另一只手5根手指，来计算12*5=60个不同的数。

如果我们再细心就会发现，不光钟表盘上的数字是1~12，一年也是不多不少12个月。还有我们熟悉的“一打”这种说法，一打就是12个，这又是一个12进制的例子。看起来，12进制虽然不声不响的，在我们生活中却也有很高的出镜率。这其中有什么玄机吗？

首先从历法说起。很多古老文明都使用12进制来记时，世界各地的历法也不约而同地将一年分成12个月，这里面的原因非常简单。首先从四季更迭上，人们确定了“一年”这个单位。而一年中月亮会重复圆缺12次，每次的周期相等，于是人们将一年分为了12个月份。12这个数字就是这么出来的。在这方面，它只是“顺应天道”，不以人为意志而转移。

而一天的划分又是怎么出来的呢？西方把一天划分为24小时，我国古代也有“12时辰”的分法，这两个数字都和12有关，难道只是巧合？那是因为古代的人很早就发现了太阳从东到西移动的规律，以及光影之间的对应关系。白天看时间，其实就是在一个大圆盘上看影子的位置。我们很熟悉的“日晷”就是这样一种工具。人们利用太阳照射杆子在日晷上投下的影子来判断时间。这样一来，若是要标记时间，就要对这个圆盘上的区域进行划分。

从几何学上，利用简单的尺规作图可以把圆盘六等分，之后通过连线取中点等操作可以获得12等分，24等分等，但相比之下，10等分的操作就会困难许多。在大多数文明中，所有和历法、时间有关系的单位都是6的倍数，原因也正在于此。

除了历法和计时之外，在一些度量衡中我们也能见到12进制的影子，例如货币中一先令等于12便士，长度中一英尺等于12英寸，金衡制中一金衡磅等于12金衡盎司等。这是因为在计算方面，12进制其实比十进制更加优越。从数学上说，12作为一个高合成数，2、3、4、6都是它的因子，相比之下10只有2、5两个因子。另外，因子中2和3都是素数，因此所有能分解为2和3的整数（如2、3、4、6、8、9……）等在12进制中都是有限小数。而五个最常用的分数（1/2、1/3、2/3、1/4和3/4）在12进制中也都有非常简单的表示形式。12是拥有这一性质的最小的底数，在涉及零碎数据的系统中，12进制有着数学层面的优势。

不管是天文、几何还是算术，在这些领域中，12进制得天独厚，无怪乎古代瑞典的一位国王就曾设想过在他管辖的范围内取消10进制，而代之以12进制。只可惜人生来的10根手指让我们在学习10进制时方便太多，12进制虽然占尽了天时地利，却唯独少了“人和”，于是最终也只好固守着历法和计时的一亩三分地，难以寸进了。

一天24小时（时钟时针一圈是12小时），一小时60分，一分钟60秒

2进制

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0。

在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆（Schlossbiliothke zu Gotha）保存着一份弥足珍贵的手稿，其标题为：“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。”这是德国天才大师莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 - 1716）的手迹。但是，关于这个神奇美妙的数字系统，莱布尼茨只有几页异常精炼的描述。

莱布尼茨不仅发明了二进制，而且赋予了它宗教的内涵。他在写给当时在中国传教的法国耶稣士会牧师布维（Joachim Bouvet，1662 - 1732）的信中说：“第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，这最后的一天也是最完美的。因为，此时世间的一切都已经被创造出来了。因此它被写作‘7’，也就是‘111’（二进制中的111等于十进制的7），而且不包含0。只有当我们仅仅用0和1来表达这个数字时，才能理解，为什么第七天才最完美，为什么7是神圣的数字。特别值得注意的是它（第七天）的特征（写作二进制的111）与三位一体的关联。”

八卦是由八个符号组构成的占卜系统，而这些符号分为连续的与间断的横线两种。这两个后来被称为“阴”、“阳”的符号，在莱布尼茨眼中，就是他的二进制的中国翻版，但实际莱布尼茨是受中国阴阳太极影响，只不过他付出了诸多研究，推演出二进制。他感到这个来自古老中国文化的符号系统与他的二进制之间的关系实在太明显了，因此断言：二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言。

16进制

16进制由十六个字符0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分别表示十进制数10～15）。

数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。但二进制数太长了。比如int 类型占用4个字节，32位。2、8、16，分别是2的1次方、3次方、4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。8进制或16进制缩短了二进制数，但保持了二进制数的表达特点。一位16进制数可以顶4位2进制数。